Determinant matice
mno, najjednoduchsie co mi napadlo, bolo odcitat (napr.) prvy riadok od vsetkych ostatnych, tym dostaneme (obr.1), co uz vyzera celkom slubne, hlavne to mnozstvo nul :D pricom determinant to samozrejme nijako neovplyvni
teraz sa na to da hodit spominany rozvoj podla niektoreho riadku/stlpca, skusal som podla posledneho, ale vychadzaju tam skarede rekurentne rovnice, ktore by sa s ciselnymi prvkami este dali vyratat, ale toto je moc :) takze prvy stlpec a zaradom scitance do tej sumy:
pre policko (1,1) dostaneme clen (-1)^2 * (a1 + x) * det A'
kde A' je matica A po vyskrtnuti 1. stlpca a 1. riadku, vyzera teda (obr.2)
priemerne zdatnemu studentovi je jasne, ze det A' = a2 * a3 * ... * an
pre policka (2,1) az (n,1), obecne (i,1) dostaneme clen
(-1)^(i+1) * (-a1) * det A''
kde A'' je matica A po vyskrtnuti 1. stlpca a i-teho riadku, napr. pre i = 3 vyzera (obr. 3a)
vzhladom k poctu a usporiadaniu nul je jasne, ze det A'' = plus alebo minus sucin (x * a2 * a3 * .. a(i-1) * a(i+1) *... * an), tzn. a-cka su v sucine vsetky od 2 po n OKREM i-teho (nakolko sme jeho riadok vyskrtli)
co sa tyka znamienka, tak dalo by sa patlat so znamienkom permutacie, ale komu sa chce, zeano :)) takze primitivny vypocet spociva v pocte prehodeni riadkov tak, aby sme z A'' dostali "skorotrojuholnikovu" maticu :)), ktora ma isto det rovny kladnemu sucinu prvkov na diagonale. Priklad pre i = 3 opat vid (obr. 3b)
Long story short, pocet prehodeni je i-2 (rozmyslite si preco za domace cvicenie :)), a kedze kazde prehodenie riadkov meni znamienko determinantu, tak vysledny det A'' = (-1)^(i-2) * x * a2...atd.
Inak sa da ku znamienku dojst aj zas cez vzorec na rozvoj, proste moznosti je neurekom :)
spocitame, upravime, dostaneme nieco ako (obr. 4)
tadaaa! :D
PS: ci sa to da nejak dalej (krajsie) upravit, nemam potuchy :P
PS2: "odmenu" prenechavam tomu, kto prvy najde vo vypocte nejaku chybu...
edit: fnuk, preco to takto poprehadzovalo poradie obrazkov :'(
teraz sa na to da hodit spominany rozvoj podla niektoreho riadku/stlpca, skusal som podla posledneho, ale vychadzaju tam skarede rekurentne rovnice, ktore by sa s ciselnymi prvkami este dali vyratat, ale toto je moc :) takze prvy stlpec a zaradom scitance do tej sumy:
pre policko (1,1) dostaneme clen (-1)^2 * (a1 + x) * det A'
kde A' je matica A po vyskrtnuti 1. stlpca a 1. riadku, vyzera teda (obr.2)
priemerne zdatnemu studentovi je jasne, ze det A' = a2 * a3 * ... * an
pre policka (2,1) az (n,1), obecne (i,1) dostaneme clen
(-1)^(i+1) * (-a1) * det A''
kde A'' je matica A po vyskrtnuti 1. stlpca a i-teho riadku, napr. pre i = 3 vyzera (obr. 3a)
vzhladom k poctu a usporiadaniu nul je jasne, ze det A'' = plus alebo minus sucin (x * a2 * a3 * .. a(i-1) * a(i+1) *... * an), tzn. a-cka su v sucine vsetky od 2 po n OKREM i-teho (nakolko sme jeho riadok vyskrtli)
co sa tyka znamienka, tak dalo by sa patlat so znamienkom permutacie, ale komu sa chce, zeano :)) takze primitivny vypocet spociva v pocte prehodeni riadkov tak, aby sme z A'' dostali "skorotrojuholnikovu" maticu :)), ktora ma isto det rovny kladnemu sucinu prvkov na diagonale. Priklad pre i = 3 opat vid (obr. 3b)
Long story short, pocet prehodeni je i-2 (rozmyslite si preco za domace cvicenie :)), a kedze kazde prehodenie riadkov meni znamienko determinantu, tak vysledny det A'' = (-1)^(i-2) * x * a2...atd.
Inak sa da ku znamienku dojst aj zas cez vzorec na rozvoj, proste moznosti je neurekom :)
spocitame, upravime, dostaneme nieco ako (obr. 4)
tadaaa! :D
PS: ci sa to da nejak dalej (krajsie) upravit, nemam potuchy :P
PS2: "odmenu" prenechavam tomu, kto prvy najde vo vypocte nejaku chybu...
edit: fnuk, preco to takto poprehadzovalo poradie obrazkov :'(
dakujem za snahu ale pred pol hodkou som objavil toto
http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/ ... ode73.html
na moju maticu to skvele pasuje, ale aj tak dakujem aspon K+
http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/ ... ode73.html
na moju maticu to skvele pasuje, ale aj tak dakujem aspon K+
